24.6 Proyección ojo de pez
Una de las primeras tareas que se realizan en dibujo técnico es proyectar sobre un plano un objeto tridimensional. De hecho, se proyectan sobre el eje x, y y z de tal modo que un objeto en 3D se presenta en tres vistas 2D. La idea es suponer que se logra poner un foco de rayos totalmente paralelos en la dirección del eje correspondiente y trazar sobre la pared la sombra definida. Se denomina realizar proyecciones isométricas. En realidad no se realiza sobre la pared, sino sobre una hoja cuadriculada. Estamos suponiendo que trabajamos sobre una cuadrícula cartesiana. Pero podemos imaginar que hay otro tipo de cuadrículas. Se ha presentado la logarítmica. Pero puede haber otro tipo de cuadrículas. Imagínese una superficie en forma de copa de champaña. No tenga en cuenta el tubo de vidrio con que se sujeta ni la base sobre la que se apoya. Se trata de una superficie que se forma al girar sobre la coordenada (0,0) una función hiperbólica (senh). Se denomina un plano hiperbólico. Por supuesto, tiene asociada una cuadrícula hiperbólica. De hecho, cualquier geometría que permita pasar por un punto más de una línea paralela a otra línea, se denomina geometría hiperbólica19.
Imagínese que hay un conjunto de puntos ubicados sobre dicha cuadrícula hiperbólica. Considere ahora un plano cartesiano tangente a la base de la copa de champaña, es decir, tangente al punto (0,0). E imagínese un foco con rayos perfectamente paralelos al eje z. Permite realizar una proyección isométrica de las coordenadas de la cuadrícula hiperbólica sobre un plano cartesiano.
Hay una característica particular. Sobre el plano hiperbólico, según nos alejamos del origen nos dirigimos al infinito. En la proyección isométrica mencionada acercarse al infinito es acercarse al borde de un círculo (el borde de la copa). De este modo, puntos cercanos entre sí al borde del círculo en el plano cartesiano pueden estar muy separados en el plano hiperbólico. El resultado sobre el plano cartesiano es semejante a la distorsión de la perspectiva del ojo de pez: El centro es distinguible y enfocado, los bordes no son importantes, pero se adivina que hay otros elementos.
Esta estrategia, la perspectiva del ojo de pez, se utiliza en visualización interactiva de grandes bases de datos, para realizar zoom en zonas de interés, al estilo de una lupa centrada en algún punto. No hace falta que se realice sobre toda la visualización. Puede ser sobre una parte de ésta. Wolfram Alpha explica que la perspectiva de ojo de pez es una proyección en dos partes: En primer lugar, el espacio tridimensional se proyecta sobre la superficie de una semiesfera, conectando cada punto externo con el centro de la esfera20. En segundo lugar, la semiesfera se proyecta isométricamente sobre su círculo subyacente. Es la misma idea del plano hiperbólico, pero esta vez sobre una semiesfera. La ventaja es que la semiesfera tiene realmente un borde, a una distancia r, el radio de la semiesfera. Mientras que el plano hiperbólico no tiene un borde real. Llega al infinito.
Tratándose de nodos, la idea es seleccionar uno de ellos como el punto (0, 0) de la semiesfera y los restantes se ubican geodésicamente21 respecto a éste. El efecto es que los más cercanos al punto (0, 0) serán muy observables, en tanto los más lejanos de proyectan hacia los bordes del círculo, como ya se ha explicado. La proyección es sobre un círculo, por ende, la cuadrícula cartesiana será cuadrada.
Una manera sencilla de aproximarse a la visualización del resultado deseado, es convertir desde coordenadas cartesianas hacia coordenadas polares. Se puede realizar mediante el siguiente par de fórmulas:
\[r = \sqrt{(x^2 + y^2)}\text{ ; }\theta = arctan(y/x)\]
Debe recordarse que el foco o nodo de interés está ubicado en la coordenada \((0, 0)\).